ChatGPT推翻80年悬而未决的数学猜想，菲尔兹奖得主：AI数学迎来里程碑

本文来自微信公众号： APPSO ，作者：发现明日产品的

一把长度仅为1的尺子，却把AI送进了数学研究的最前沿阵地。

不妨设想一下：在一块无限大的平面上摆放n个点，只要两个点之间恰好相隔距离为1，就算作一组“单位距离点对”。那么最多能凑出多少组这样的点对呢？

早在1946年，数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）就提出了这个问题。近八十年过去，数学界一直都认为，最接近正确答案的构造方式大概类似平方网格——也就是把点像棋盘格子一样整齐铺开。

截至相关消息发布，这条讨论推文已经吸引了320万网友围观

如今OpenAI给出了一个完全不一样的答案。

根据OpenAI官方博客发布的内容，其内部研发的一款通用推理模型找到了一组全新的构造方法，能让n个点产生比平方网格的预期结果更多的单位距离点对。这个结论直接推翻了埃尔德什提出的、关于单位距离数至多为n^(1+o(1))的长期上界猜想。

目前这份证明已经经过外部数学家的校验，还有配套论文专门讲解了这个成果的研究背景与学术意义。

最值得关注的是，OpenAI明确表示，这个证明来自通用推理模型——它既不是专门为单位距离问题定制的模型，也不是专门设计的数学证明搜索系统。按照OpenAI的说法，这是AI第一次自主解决了一个数学分支里处于核心位置的重要公开问题。

对数学界而言，这可能只是一个困扰了学界近80年的经典猜想被推翻；但对AI行业来说，模型已经开始触及科研创造的上游环节：提出全新思路，连接不同领域的知识，还能把复杂论证推进到专家可以审核确认的程度。

一个简单问题，八十年的猜想

平面单位距离问题是组合几何领域最出名的经典问题之一。

在2005年出版的《离散几何研究问题》（Research Problems in Discrete Geometry）一书中，作者布拉斯（Brass）、莫泽（Moser）和帕奇（Pach）评价它“大概是组合几何里最广为人知、也最容易解释的问题”。组合数学家诺加·阿隆（Noga Alon）也提到，这个问题是埃尔德什本人最喜爱的问题之一，埃尔德什甚至曾经为解决这个问题设立了奖金。

数学领域通常用u(n)来代表这个问题的答案：平面上放n个点时，距离恰好为1的点对最多能有多少个。研究者关心的核心，是当n不断变大时，u(n)会按照什么样的速度增长。

最简单的摆放方式，是把n个点排成一条直线，相邻两个点间隔为1，这样就能得到n-1个单位距离点对。

稍微复杂一点的摆放就是平方网格，把点像棋盘一样排布开，每个点都可以和上下左右的相邻点形成单位距离，这样算下来，单位距离点对的数量大约能达到2n。

这就是此前已知的经典构造：通过重新缩放的方形网格，就能生成大量单位距离。

埃尔德什在1946年提出的构造要更精细，他使用经过缩放的平方网格，让单位距离点对的数量达到了n^(1+C/log log n)的量级，其中C是一个常数。这个公式用通俗的话来讲就是：它的增长速度比n快一点，但快得非常有限。因为n越大，C/log log n就越接近0，所以整体增长速度仍然接近n的一次方。

长期以来，数学家普遍认为，平方网格类的构造已经接近这个问题的答案极限。埃尔德什也据此提出猜想：u(n)的上界应当是n^(1+o(1))，这里的o(1)代表一个会随着n增大逐渐趋近于0的量，换句话说，单位距离点对的数量可以略高于线性增长，但不应该出现固定比例的指数优势。

OpenAI公布的全新结果打破了这个学界延续近八十年的预期。

OpenAI官方博客表示，模型构造出了一族无限多的例子，对于无穷多个n，都可以在平面上放置n个点，得到至少n^(1+δ)个单位距离点对，这里δ是一个固定正数。最初AI给出的证明没有给出δ的具体数值，但普林斯顿大学数学教授威尔·索温（Will Sawin）后续改进后显示，δ可以取0.014。

原本平方网格类构造被认为已经接近最优结果，可OpenAI模型给出的新构造，却在无穷多个n上实现了固定指数优势，直接突破了n^(1+o(1))这个长期被认可的结论。

这件事给学界带来震动，主要来自两个层面。第一，这个问题本身分量极重：平面单位距离问题虽然描述简单，但这么多年来实质进展非常缓慢，下界的结论长期沿着埃尔德什早年的构造推进，最好的上界O(n^(4/3))还是来自斯宾塞（Spencer）、塞迈雷迪（Szemerédi）和特罗特（Trotter）在1984年的研究成果。在此之后，塞凯伊（Székely）、卡茨（Katz）、席勒（Silier）、帕奇（Pach）、拉兹（Raz）、绍利莫西（Solymosi）等研究者都继续研究过相关结构，但核心的上下界之间仍然存在很大的空白。

第二，新证明用到的工具超出了很多人的预料。过去研究者讨论这个问题，通常自然会想到几何和组合结构，但OpenAI模型给出的解题路径，却把这个问题引向了代数数论。

埃尔德什的早期构造可以用高斯整数来理解。高斯整数的形式是a+bi，其中a和b都是整数，i是-1的平方根，它扩展了普通整数的范围，还保留了类似唯一分解的性质。借助这种结构，就能解释为什么部分缩放后的平方网格能产生很多单位距离。

该图片由AI生成，仅供参考

OpenAI模型的新证明使用了更复杂的代数数域。代数数域可以理解为对普通有理数或整数的推广，其中包含更丰富的对称结构。OpenAI认为，正是这些结构制造出了大量单位长度差，才让平面上的点能形成更多距离恰好为1的点对。

这份证明还用到了无限类域塔、戈洛德-沙法列维奇（Golod Shafarevich）理论等工具。这些概念在代数数论内部并不陌生，但它们突然出现在欧氏平面的组合几何问题中，带来了很强的跨领域研究色彩。

外部数学家也把这一点看作这个成果的关键。配套论文作者之一托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）写道，评价AI生成证明的重要性时，一个重要标准就是它有没有让人类对这个问题有更深的理解。在他看来，我们可以谨慎地给出肯定答案：这个结果说明，数论构造对离散几何问题的影响，可能比过去学界预想得要更深。

组合数学家诺加·阿隆表示，埃尔德什曾经多次在讲座中提到单位距离问题，几乎每一位组合几何研究者都思考过这个问题，还有很多其他领域的数学家也花时间研究过它。阿隆认为，OpenAI内部模型解决这个长期公开问题是一项非常突出的成果，尤其让人意外的是，正确答案并不在n^(1+o(1))这个长期预期里，而新构造及其分析还用巧妙的方式使用了相当高级的代数数论工具。

菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Tim Gowers）在配套论文中表示，这一成果是“AI数学的一个里程碑”。数论学者阿鲁尔·尚卡尔（Arul Shankar）则认为，这篇论文说明，当前的AI模型已经能够提出原创又巧妙的想法，还能把这些想法推进成完整的证明。

AI踏入科研上游，人类专家该处在什么位置

OpenAI在官方博客里反复强调，模型本身的属性是这件事的关键。

按照OpenAI的说法，这份证明来自一款全新的通用推理模型，它既没有针对单位距离问题做专门训练，也没有被设计成专门的数学证明搜索系统。OpenAI是在一项更大范围的评估中，让模型处理一组埃尔德什提出的问题，最终模型在平面单位距离问题上给出了完整证明。

在验证了初始证明之后，OpenAI还研究了不同测试计算量下，模型在这个问题上的解题成功率。

过去几年，AI在数学领域的能力已经提升得非常快：模型可以解数学竞赛题，可以辅助形式化证明，可以帮忙检索资料，也能生成证明草稿。但这些能力大多需要人类给出明确方向，或者仍然围绕已有的知识体系展开工作。

OpenAI这次公布的案例，往前推进了一大步：模型面对一个长期开放的问题，自己提出新构造，还完成了能让外部专家审核的证明。换句话说，AI已经开始触碰数学研究里更核心的环节，也就是找到研究路径本身。

数学非常适合检验这种能力，原因不难理解：这个领域的问题定义清晰，证明可以直接校验，任何一处推理断裂都会影响整个结果。如果一个模型能完成这类任务，就说明它能够维持较长的推理链条，也能把距离很远的知识工具放到同一个问题里搭配使用。

其实在规模更小的研究问题上，类似能力已经有公开案例了。蒂莫西·高尔斯曾经让ChatGPT 5.5 Pro处理数论里的公开问题，模型在不到两个小时里就给出了接近博士水平的数学研究成果，还显著改进了已有的界限。

高尔斯称，他自己几乎没有做任何数学贡献，也没有使用复杂的提示词。相关问题来自数论学者梅尔·内桑森（Mel Nathanson）的一篇论文，涉及整数和集合的可能大小，以及如何有效构造拥有特定性质的集合。一位参与研究的年轻学者认为，模型提出的关键想法“完全是原创的”。

把这些案例连起来看就能发现，生成式AI的角色正在发生变化：它正在从“会解题”进入“会做研究”的早期阶段。模型不再只是在题目给定、方法明确的情况下给出答案，也开始在开放问题中提出构造、改进边界、寻找证明路线。

OpenAI也希望把这个案例推广到更广泛的科研场景中。官方博客提到，如果模型可以在数学中保持复杂论证的连贯性，连接不同知识领域，产出能经得起专家审核的成果，那么类似的能力也有可能帮助生物学、物理学、材料科学、工程和医学等领域的研究。

当然，这次解决难题的完整研究流程仍然离不开人类专家。AI证明的结果能被学界严肃讨论，一个重要前提就是证明经过了外部数学家的检查，配套论文也给出了研究背景、解释和数学脉络。AI提出了关键突破，人类专家判断它的正确性，解释它的意义，还会继续追问它能不能扩展到其他问题上。

简单来说，AI远远没办法替代数学家，但很有可能改变数学研究的劳动结构。尤其是当AI能够批量提出复杂路径之后，未来研究者的核心任务会越来越集中在三个方向：判断问题是否重要，判断结果是否可信，判断哪条路线值得继续投入研究。

而OpenAI的模型给出了一个连埃尔德什都从未想象过的构造，这也是对这位生活方式极简、四处游历的数学顽童最好的致敬：解决问题的方式，或许比解决问题本身更让人惊喜。

附上参考链接：

1. 完整证明过程

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

2. 配套论文

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

3. 模型推理思路

https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf

4. OpenAI官方博客

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/